正文介绍朴素贝叶斯算法如何对文件进行分拣。比如,每个用户之购物评论就是平等首文书,识别出当下篇文书属于刚于评论或者负面评论
就是分类的长河,而项目就是是:{正面评价,负面评价}。正面评价也Positive,用标识符’+’表示;负面评价啊Negative,用标识符’-‘代表。

引言

自我深感上机器上算法还是要起数学角度入门才是绝无仅有正道,机器上世界大牛Michael
I. Jordan给有的机器上定义是,“A field that bridge computation and
statistics,with ties to information theory, signal processing,
algorithm, control theory and optimization
theory”。所以于机器上的徒弟来说,我觉着以计算机和统计理论有机构成起来才是科学的出路。市面上鼓吹的所谓不介绍数学背景,只引入安以算法的书本,只能是投其所好那些归心似箭的人口的口味,确实可感觉到出受火热概念炒出的众人的急躁。
当,看人家的急性,说明你啊生同样颗浮躁之心迹。
自身或者踏踏实实的踏实的赶紧起身吧!不然,我耶是一个随波逐流,追赶鱼潮的打渔人,没有团结的有史以来,一旦翻了船,那才是空手呢。
校里多教育者让的科目确实还是以忽悠学生,其实他们也许也没大扎实的数学基础,以至于很为难将学员领入正确的道路上来。至少作为听课学生来讲,我是这般觉得的。造成的结果是,感觉就宗科目是单身于一个天地的,是好孤立的。而自从有外语书籍被好看下,机器上其实是多学科交叉的衍生物,和博工领域理论还发出细心的维系,这样,至少吃我们这种新家有据可查,不至于感觉她是自从石头缝里蹿出来的。

连片下,几首文章介绍的概率分布是构建复杂模型的底子。讨论这些概率分布的一个首要应用即是密度估计(density
estimation),即基于有限的考察数据,去立模型,然后取这些随机变量的样本所遵循的概率分布。
(直到此时,我才稍微了解某些本科时概率统计课上教的参数估计是为什么用底)

 

仲首先变量(Binary Variables)

咱们第一来考虑二元随机变量x∈{0,1}。

同一,分类目标

伯努利分布(Bernoulli Distribution)

伯努利分布(the Bernoulli
distribution,又称作两接触分布或者0-1遍布,是一个离散型概率分布,为怀念瑞士科学家雅各布·伯努利而命名),若伯努利试验成功,则伯努利随机变量取值为1。若伯努利试验失败,则伯努利随机变量取值为0。

统计 1

追寻文本的某些特征,然后根据这些特征将文件归为某个类。

极深似然估计(Maximum Likelihood Estimation)

兹吃起同样组观测数据D={x1,…,xN},我们透过构建似然函数,来估计参数μ(随机变量取1时对应之几率)。

统计 2

举个例证,
比方展开三次等考察,三不成观测结果x均为1,那么μML为1,这证明未来底相结果应当全为x=1。根据常识,这眼看是休合常理的。实质上,这是由于有些数目集导致的过拟合的结果。紧接下去我们设说明的就是打贝叶斯理论的角度,如何去解是问题。

The goal of classification is to take a single observation, extract some useful
features, and thereby classify the observation into one of a set of discrete classes.

二项分布(Binomial Distribution)

二项分布是n个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布,其中每次试验的成功几率为p。这样的无非潮成功/失败试验以称为伯努利试验。实际上,当n
= 1不时,二项分布就是伯努利分布。
二项分布定义为:

统计 3

二项分布的只求与方差分别是:

统计 4

 

Beta分布

以化解小数目集中用最为酷似然估计的方法来打量参数有的过拟合的气象,我们尝试用贝叶斯的点子引入参数μ的先验分布。

统计 5

此地a和b被称呼超参数(hyperparameters),因为其左右了参数μ的遍布,它们不肯定也整数。
下的图像展示了不同之超参对分布的震慑:

统计 6

行使监督式机器上道对文件进行归类:首先使已经发分好类的N篇文档:(d1,c1)、(d2,c2)、(d3,c3)……(dn,cn)

先验概率

于贝叶斯统计中,某同休确定量p的先验概率分布是每当设想”观测数据”前,能发挥p不确定性的概率分布。它旨在描述是不确定量的切莫确定程度,而不是者不确定量的随机性。这个不确定量可以是一个参数,或者是一个带有变量(latent
variable)。
在动用贝叶斯定理时,我们透过以先验概率与似然函数相乘,随后标准化,来取后验概率分布,也即是被出某数据,该不确定量的准分布。
先验概率通常是不合理的怀疑,为要计量后验概率方便,有时候会择并轭先验。如果后验概率和先验概率是同一族的,则当它们是齐轭分布,这个先验概率就是指向应于似然函数的共轭先验

di表示第i篇文档,ci意味着第i个档次。目标是:寻找一个分类器,这个分类器能够:当丢给她同样首新文档d,它便输出d
(最有或)属于哪个项目c

一头轭分布(Conjugate Prior)

为了令先验分布及后验分布的款式相同,我们定义:如果先验分布和似然函数可以叫先验分布及后验分布有一致的花样,那么即使称先验分布与似然函数是共轭的。所以共轭是赖:先验分布及似然函数共轭。
联机轭先验的意思在于,使得贝叶斯推理更加有益于,比如在续贝叶斯推理(Sequential
Bayesian
inference连)中,得到一个observation之后,可以算出一个后验分布。由于选取的凡一道轭先验,因此后验和本先验的款式一样,可以把欠后验当做新的先验,用于下一样坏observation,然后继续迭代。

 

后验分布

参数μ的后验分布是以那个先验分布就及二项式似然函数(binomial likelihood
function),再由一化得到。
后验分布有如下形式:

统计 7

其中,l = N-m。
俺们好观看,这里的后验分布与先验分布有同之样式,这反映了似然函数的共轭先验的风味。夫后验分布为是一个Beta分布,这样咱们可以之后验分布当做是一个初的先验分布,当得一致组新的数目以后,我们好创新得新的后验分布。
这种顺序方法(sequential approach)每次用同一有些波(small
batches)观测数据,当新的观测数据来之时段,就会丢掉弃旧的相数据。
于是这种艺术充分适用于数据流稳定到,而当考察所有数据之后得出预测结果的实时学习的状况,因为这种措施无求数一次性的全套载入内存来算。
下面的图形形象的讲述了连贝叶斯推理(sequential Bayesian
inference)的一个环。先验分布参数a=2、b=2,对诺单独发一个观测数据x=1的似然函数,其参数N=m=1,而后验分布之参数a=3、b=2。

统计 8

次,分类器的介绍

预测数据

今昔我们而开的是,根据加的观赛数据集D来评估x的预测分布。

统计 9

由于上式,我们可以看到,随着数据癿增加, m、l
趋于无穷大时,这时参数的后验分布就相当最深似然解。而对此片数据集来说,参数μ的后验均值总是在先验平均和μ的顶特别似然估计值之间的。

①Generative
classifier

总结

我们可以看出,随着观测数据的多,后验分布变成一个更是陡峭的山脊形状。这通过Beta分布的方差可以见见,当a和b趋近于无穷大时,Beta分布的方差趋近于0。从总层面上说,当我们观察到更多的数额经常,后验分布所反映的不确定性将出人意料下降(steadily
decrease)。
稍微先验分布得印证,随着数据的增加方差越来越粗,分布更为陡,最后坍缩成狄拉克函数,这时贝叶斯方法以及效率派艺术是相等价格的。

仔细贝叶斯分类器属于Generative
classifier。  

参考资料

Pattern Recognition and Machine Learning, Christopher M. Bishop
Wiki:β-二项式分布

转载请注明作者Jason Ding及其出处
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②Discriminative
classifier

逻辑回归属于Discriminative
classifier。

Generative classifiers like naive Bayes build a model of each class. Given an observation,they return the class most likely to have generated the observation. 
Discriminative classifiers like logistic regression instead learn what features from the input are most useful to discriminate between the different possible classes.

 

其三,词袋模型(Bag
Of Words)

前提到,文本分类需要寻找文本的特色。而词袋模型就是代表文本特征的一模一样种植艺术。给一定一首文档,它会来为数不少特点,比如文档中每个单词出现的次数、某些单词出现的职、单词的尺寸、单词出现的效率……而词袋模型才考虑同首文档中单词出现的效率(次数),用每个单词出现的频率作为文档的特征(或者说用单词出现的频率来表示该文档)。词袋模型的示意图如下:

统计 10

We represent a text document as if it were a bag-of-words, 
that is, an unordered set of words with their position ignored, keeping only their frequency in the document.

 

季,朴素贝叶斯分类器

省力贝叶斯分类器是一个概率分类器。假设现有的档次C={c1,c2,……cm}。给一定一篇文档d,文档d最有或属于哪个类为?这个题材用数学公式表示如下:

统计 11(公式一)

c尽管是:在享有的项目C={c1,c2,……cm}
中,使得:条件概率P(c|d)取最好充分价值的色。使用贝叶斯公式,将(公式一样)转换成如下形式:

统计 12(公式二)

本着项目C中之每个门类,计算 [p(d|c)*p(c)]/p(d)
的价,然后择最酷价值对应之挺类型ci
,该ci即使是无限优解c^,因此,可以忽略掉分母
p(d),(公式二)变成如下形式:

统计 13(公式三)

本条公式由简单片段构成,前面那么有P(d|c)
称为似然函数,后面那片P(c) 称为先验概率。

眼前提到以词袋模型来表示
文档d,文档d的每个特征表示也:d={f1,f2,f3……fn},那么这里的特征f实质上就是是单词w并发的频率(次数),公式三转化成如下形式:

统计 14(公式四)

本着文档d
做个如:假设各个特征之间是彼此独立的。那么p(f1,f2……fn|c)=p(f1|c)*p(f2|c)*……*p(fn|c),公式四转化成如下形式:

统计 15(公式五)

由每个概率值大粗(比如0.0001)若干单非常有点的几率值直接相乘,得到的结果会尤其粗。为了避免计算过程出现下溢(underflower),引入对数函数Log,在
log space中开展计算。然后以词袋模型的每个单词wi
出现频率作为特色,得到如下公式

统计 16(公式六)

 

五,训练刻苦贝叶斯分类器

教练刻苦贝叶斯的历程实际上就是是精打细算先验概率和似然函数的长河。

①先验概率P(c)的乘除

P(c)的意思是:在有着的文档中,类别为c的文档出现的几率有多雅?假而训练多少被总计有Ndoc首文档,只要数一下类别c的文档有些许只就能计算p(c)了,类别c的文档共有Nc首,先验概率的计算公式如下:

统计 17(公式七)

【先验概率 其实就是是
准备干一码业务时,目前已控制了如何信息了】关于先验信息掌握,可参照:当下首文章。

For the document prior P(c) we ask what percentage of the documents in our training set are in each class c. 
Let Nc be the number of documents in our training data with
class c and Ndoc be the total number of documents

 

②似然函数P(wi|c)的计算

出于是为此词袋模型表示一篇文档d,对于文档d中的每个单词wi,找到训练多少集中具有类型为c的文档,数同等频
单词wi每当这些文档(类别为c)中起的次数:count(wi,c)

下一场,再反复相同屡次训练多少汇总类别为c的文档一共有多少只单词统计 18。计算
二者之间的比值,就是似然函数的值。似然函数计算公式如下:

统计 19(公式八)

里面V,就是词库。(有些单词在词库中,但是不属于类别C,那么
count(w,c)=0)

Here the vocabulary V consists of the union of all the word types in all classes, not just the words in one class c.

于点计算似然函数的长河来拘禁,其实一定给一个开挖(统计)潜藏规律的进程。

 

六,unknow words的情形

一旦只考虑文本二分拣:将文档分成
positve类别,或者negative类别,C={positive, negative}

在教练多少集中,类别为positive的兼具文档 都并未
包含
单词wi = fantastic(fantastic可能出现于品种为negative的文档中)

那么
count(wi=fantastic,ci=positive)=0
。那么:

统计 20

假使专注到前公式五饱受之累乘,整篇文档的似然函数值为0,也就是是说:如果文档d中有个单词fantastic在列为c的训多少集文档中从未出现了,那文档d被归类及类别c的概率为0,尽管文档d中还有有其它单词(特征),而这些单词所表示的特点看文档d应该为分类
到 类别c中

But since naive Bayes naively multiplies all the feature likelihoods together, zero
probabilities in the likelihood term for any class will cause the probability of the
class to be zero, no matter the other evidence!

 

解决方案就是 add-one
smoothing
。(不介绍了),其实就是是将“出现次数加1”。似然函数公式变成如下形式:

统计 21(公式九)

个中|V|是词库中有着单词的个数。

 

七,朴素贝叶斯分类示例

假若训练多少集有五篇文档,其中Negative类别的文档有三首,用符号
‘-‘ 标识;Positive类别的文档有次篇,用符号 ‘+’
标识,它们的始末如下:

-  just plain boring
-  entirely predictable and lacks energy
-  no surprises and very few laughs


+  very powerful
+  the most fun film of the summer

 

测试数据集T
有雷同首文档dt,内容如下:

predictable with no fun

 

节能贝叶斯分类器会拿“predictable with no
fun”归为谁类为?根据第五节约“训练刻苦贝叶斯分类器”,需要计算先验概率和似然函数。

是因为训练多少汇总一共来5首文档,其中类别 ‘+’
的文档有2首,类别为 ‘-‘ 的文档有3篇,因此先验概率:P(c)=P(‘-‘)=Nc/Ndoc=3/5=0.6 
 

型为’+’ 的文档有2首,故 P(c)=P(‘+’)=Nc/Ndoc=2/5=0.4

本着测试数据集文档dt着之每个单词,似然函数采用“add-one
smoothing”处理,计算相应的似然概率:

先是就词 predictable 在教练多少集中
类别为’-‘的文档中单现出了1蹩脚,类别为’-‘的文档一共发生14单单词,训练多少汇总有限栽类型的文档加起一共发23单单词,但是来三只单词(and、

very、the)重复出现了一定量糟,故词库V的深浅为
20。因此单词predictable对应之似然概率如下:

p(predictable|’-‘)=(1+1)/(14+20)=2/34

同理:p(predictable|’+’)=(0+1)/(9+20)=2/29 
 (predictable没有以列为’+’的训多少集中出现过)

类似地:p(no|’=’)=(1+1)/(14+20)        p(no|’+’)=(0+1)/(9+20)

p(fun|’-‘)=(0+1)/(14+20)                    p(fun|’+’)=(1+1)/(9+20)

因而,测试集中的文档d归类为 ‘-‘ 的几率也:0.6 *
(2*2*1)/343 = 6.1*10-5

测试集中的文档d归类为 ‘+’ 的概率也:0.4*(1*1*2)/293
=3.2*10-5

 比较面两个票房价值的分寸,就得了解将“predictable
with no fun”归为 ‘-‘ 类别。

 

八,参考资料

CS 124: From Languages to
Information

机器上着的贝叶斯方法—先验概率、似然函数、后验概率的领悟以及如何以贝叶斯进行模型预测(1)

机上中的贝叶斯方法—先验概率、似然函数、后验概率的知和如何使用贝叶斯进行模型预测(2)